Der Rechner Online Algebra ist ein umfassendes Werkzeug für algebraische Probleme. Er ermöglicht das Lösen von Gleichungen, Vereinfachen von Ausdrücken, Faktorisieren von Polynomen, Berechnen von Ableitungen und Integralen mit Schritt-für-Schritt Erklärungen.
Was ist Algebra?
Definition der Algebra
Die Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das Buchstaben und Symbole verwendet, um Zahlen und Mengen in Formeln und Gleichungen darzustellen. Sie ermöglicht es, Probleme durch Manipulation mathematischer Ausdrücke zu lösen.
Grundlegende Elemente
Komponenten der Algebra:
Variablen: Buchstaben, die unbekannte Zahlen darstellen (x, y, z)
Konstanten: Feste Zahlen (2, 5, π)
Koeffizienten: Zahlen, die Variablen multiplizieren (3x, -2y)
Terme: Teile eines Ausdrucks, getrennt durch + oder -
Ausdrücke: Kombinationen von Variablen und Konstanten
Gleichungen: Gleichheiten zwischen zwei Ausdrücken
Arten algebraischer Operationen
1. Gleichungen lösen
Ziel: Den Wert der Variable finden, der die Gleichung erfüllt
Arten von Gleichungen:
Linear: ax + b = 0
Quadratisch: ax² + bx + c = 0
Kubisch: ax³ + bx² + cx + d = 0
Exponentiell: aˣ = b
Logarithmisch: log(x) = a
Beispiel: 2x + 5 = 11 → x = 3
2. Ausdrücke vereinfachen
Ziel: Einen Ausdruck auf seine einfachste Form reduzieren
Vereinfachungstechniken:
Ähnliche Terme kombinieren: 3x + 2x = 5x
Distributivität: a(b + c) = ab + ac
Faktorisierung: x² - 4 = (x-2)(x+2)
Bruchkürzung: 6x/3 = 2x
Beispiel: 2x + 3x - x = 4x
3. Polynome faktorisieren
Ziel: Ein Polynom als Produkt einfacherer Faktoren ausdrücken
Faktorisierungsmethoden:
Gemeinsamer Faktor: 6x + 9 = 3(2x + 3)
Differenz von Quadraten: x² - 9 = (x-3)(x+3)
Vollständiges Quadrat: x² + 6x + 9 = (x+3)²
Gruppierung: xy + 2x + 3y + 6 = (x+3)(y+2)
Beispiel: x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
4. Ausdrücke erweitern
Ziel: Faktorisierte Ausdrücke multiplizieren und entwickeln
Erweiterungsformeln:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Beispiel: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
Differential- und Integralrechnung
1. Ableitungen
Definition: Die Ableitung misst die momentane Änderungsrate einer Funktion
Ableitungsregeln:
Konstante: d/dx(c) = 0
Potenz: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹
Summe: d/dx(f + g) = f' + g'
Produkt: d/dx(fg) = f'g + fg'
Quotient: d/dx(f/g) = (f'g - fg')/g²
Kettenregel: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)
Beispiel: d/dx(x³) = 3x²
2. Integrale
Definition: Das Integral ist die Umkehroperation der Ableitung
Integrationsregeln:
Potenz: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
Konstante: ∫c dx = cx + C
Summe: ∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx
Exponentiell: ∫eˣ dx = eˣ + C
Logarithmus: ∫(1/x) dx = ln|x| + C
Beispiel: ∫x² dx = x³/3 + C
3. Grenzwerte
Definition: Der Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines Punktes
