La Calculatrice en Ligne Algèbre est un outil complet pour résoudre des problèmes algébriques. Elle permet de résoudre des équations, simplifier des expressions, factoriser des polynômes, calculer des dérivées et intégrales avec des explications étape par étape.
Qu'est-ce que l'Algèbre ?
Définition de l'Algèbre
L'algèbre est une branche des mathématiques qui utilise des lettres et des symboles pour représenter des nombres et des quantités dans des formules et des équations. Elle permet de résoudre des problèmes en manipulant des expressions mathématiques.
Éléments Fondamentaux
Composants de l'algèbre :
Variables : Lettres représentant des nombres inconnus (x, y, z)
Constantes : Nombres fixes (2, 5, π)
Coefficients : Nombres multipliant les variables (3x, -2y)
Termes : Parties d'une expression séparées par + ou -
Expressions : Combinaisons de variables et constantes
Équations : Égalités entre deux expressions
Types d'Opérations Algébriques
1. Résolution d'Équations
Objectif : Trouver la valeur de la variable qui rend l'équation vraie
Types d'équations :
Linéaires : ax + b = 0
Quadratiques : ax² + bx + c = 0
Cubiques : ax³ + bx² + cx + d = 0
Exponentielles : aˣ = b
Logarithmiques : log(x) = a
Exemple : 2x + 5 = 11 → x = 3
2. Simplification d'Expressions
Objectif : Réduire une expression à sa forme la plus simple
Techniques de simplification :
Combiner les termes semblables : 3x + 2x = 5x
Distributivité : a(b + c) = ab + ac
Factorisation : x² - 4 = (x-2)(x+2)
Réduction de fractions : 6x/3 = 2x
Exemple : 2x + 3x - x = 4x
3. Factorisation de Polynômes
Objectif : Exprimer un polynôme comme produit de facteurs plus simples
Méthodes de factorisation :
Facteur commun : 6x + 9 = 3(2x + 3)
Différence de carrés : x² - 9 = (x-3)(x+3)
Trinôme carré parfait : x² + 6x + 9 = (x+3)²
Groupement : xy + 2x + 3y + 6 = (x+3)(y+2)
Exemple : x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
4. Développement d'Expressions
Objectif : Multiplier et développer des expressions factorisées
Formules de développement :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemple : (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
Calcul Différentiel et Intégral
1. Dérivées
Définition : La dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction
Règles de dérivation :
Constante : d/dx(c) = 0
Puissance : d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹
Somme : d/dx(f + g) = f' + g'
Produit : d/dx(fg) = f'g + fg'
Quotient : d/dx(f/g) = (f'g - fg')/g²
Chaîne : d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)
Exemple : d/dx(x³) = 3x²
2. Intégrales
Définition : L'intégrale est l'opération inverse de la dérivation
Règles d'intégration :
Puissance : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
Constante : ∫c dx = cx + C
Somme : ∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx
Exponentielle : ∫eˣ dx = eˣ + C
Logarithme : ∫(1/x) dx = ln|x| + C
Exemple : ∫x² dx = x³/3 + C
3. Limites
Définition : La limite décrit le comportement d'une fonction près d'un point
Types de limites :
Limite finie : lim(x→a) f(x) = L
Limite infinie : lim(x→a) f(x) = ±∞
Limite à l'infini : lim(x→±∞) f(x) = L
Limites latérales : lim(x→a⁺) et lim(x→a⁻)
Exemple : lim(x→0) (sin x)/x = 1
Applications de l'Algèbre
1. Sciences et Ingénierie
Physique : Équations du mouvement, lois de conservation
Chimie : Équilibres chimiques, cinétique des réactions
